解法解法一當△=b²-4ac≥0時, 一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實根,那么ax²+bx+c可分解為如a(x-x1)(x-x2)的形式。 這樣,解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的交集。 舉例: 一元二次不等式試解一元二次不等式 解: 一元二次不等式利用十字相乘法: 2x -3 x -2 得(2x-3)(x-2)<0 然後,分兩種情況討論。 口訣同一元一次不等式的“數軸法”:大大取大,小小取小;大小小大取中間,小小大大沒有解。 1) 2x-3<0,x-2>0 得x<1.5且x>2(不成立) 2)2x-3>0,x-2<0 得x>1.5且x<2。 一元二次不等式得最終不等式的解集為: 解法二此外,亦可用配方法解一元二次不等式。 如上例題中: 2x²-7x+6 =2(x²-3.5x)+6 =2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6 =2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6 =2(x-1.75)²-0.125<0 2(x-1.75)²<0.125 (x-1.75)²<0.0625 兩邊開平方,得:x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25 x<2且x>1.5 一元二次不等式得不等式的解集為 解法三一元二次不等式也可通過一元二次函式圖象進行求解。 通過看圖象可知,二次函式圖象與X軸的兩個交點,然後根據題中所需求"<0"或">0"而推出答案。 求一元二次不等式的解集實際上是將這個一元二次不等式的所有項移到不等式一側並進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式,可將一元二次方程不等式轉化成二次函式的形式,求出函式與X軸的交點,將一元二次不等式,二次函式,一元二次方程聯繫起來,並利用圖象法進行解題,使得問題簡化。 解法四數軸穿根:用穿根法解高次不等式時,就是先把不等式一端化為零,再對另一端分解因式,並求出它的零點,把這些零點標在數軸上,再用一條光滑的曲線,從x軸的右端上方起,依次穿過這些零點,這大於零的不等式的解對應這曲線在x軸上方部分的實數x得起值集合,小於零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法,又叫“穿根法”。口訣是“從右到左,從上到下,奇穿偶不穿。” ●做法: 1.把二次項係數變成正的(不用是1,但是得出者為正解); 2.畫數軸,在數軸上從小到大依次標出所有根; 3.從右上角開始,一上一下依次穿過不等式的根,奇過偶不過 (即遇到含X的項是奇次冪就穿過,偶次冪就跨過。後文有詳細介紹); 4.注意看看題中不等號有沒有等號,沒有的話還要注意寫結果時捨去使不等式為0的根。 ●例如不等式: x²-3x+2≤0(最高次項係數一定要為正,不為正要化成正的) ⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0; ⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2; ⒊畫數軸,並把根所在的點標上去; ⒋注意,此時從最右端開始,從2的右上方引出一條曲線,經過點2,繼續向左繪製,類似於拋物線,再經過點1,向點1的左上方無限延伸; ⒌看題求解,題中要求求≤0的解,那么只需在數軸上觀察哪一段在數軸及數軸以下即可,觀察可以得到:1≤x≤2。 ●高次不等式亦如此。例如一個分解因式後所得之不等式: x(x+2)(x-1)(x-3)>0 照例,先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根: x=0,x=1,x=-2,x=3 在數軸上依次標出這些點.還是從最右邊的一點3的右上方引出一條曲線,經過點3,在1、3之間類似於一個開口向上的拋物線,經過點1;繼續向點1的左上方延伸,這條曲線在點0、1之間類似於一條開口向下的曲線,經過點0;繼續向0的左下方延伸,在0、-2之間類似於一條開口向上的拋物線,經過點-2;繼續向點-2的左上方無限延伸。 方程中要求的是>0, 只需觀察曲線在數軸上方的部分所取的x的範圍即可。 x<-2或0<1或x>3。 ●⑴遇到根是分數或無理數和遇到整數時的處理方法是一樣的,都是在數軸上把這個根的位置標出來; ⑵“奇過偶不過”中的“奇、偶”指的是分解因式後,某個因數的指數是奇數或者偶數; 比如對於不等式(X-2)²·(X-3)>0 (X-2)的指數是2,是偶數,所以在數軸上畫曲線時就不穿過2這個點, 而(X-3)的指數是1,是奇數,所以在數軸上畫曲線時就要穿過3這個點。 (3)分子中一定都是能夠因式分解成一次式的因式,否則不能用此方法。 判別方法一元二次不等式當a>0時: 解一元二次不等式口诀2020-02-18 13:47:29文/颜雨 首先化成一般式,构造函数第二站;判别式值若非负,曲线横轴有交点;a正开口它向上,大于零则取两边;代数式若小于零,解集交点数之间;方程若无实数根,口上大零解为全;小于零将没有解,开口向下正相反。 一元二次不等式,是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是ax²+bx+c>0、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0(a不等于0)。 一元二次不等式求解方法 判别式△=b²-4ac>0时,一元二次方程ax²+bx+c=0两个不相等的实数根。 判别式△=b²-4ac=0时,一元二次方程ax²+bx+c=0两个相等的实数根。 判别式△=b²-4ac<0时,一元二次方程ax²+bx+c=0无实根。 有关一元二次不等式及其解法的知识点总结一元二次不等式的概念: 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式. 一元二次不等式的解集: 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。 同解不等式: 如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式,如果一个不等式变形为另一个不等式时,这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做不等式的同解变形。 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 解不等式的过程: 解不等式的过程就是将不等式进行同解变形,化为最简形式的同解不等式的过程.变形时要注意条件的限制,比如:分母是否有意义,定义域是否有限制等. 解一元二次不等式的一般步骤为: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零;(2)计算相应的判别式;(3)当△≥0时,求出相应的一元二次方程的根;(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集. 解含有参数的一元二次不等式: (1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后,再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论;(3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论。 |