等比数列求和推导

本文转自：等比数列的求和公式，及其推导过程

一、等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)。

对于等比数列求和，有如下公式：

记数列{an}为等比数列，公比为q，其前n项和为Sn，则有：

1. 公比q=1时，Sn=na1
2. 公比q≠1时，Sn=a1(1-qn)/(1-q)=（a1-anq）/(1-q)。

二、等比数列求和公式推导

当等比数列的公比等于1和公比不等于1的前n项和公式不同，所以，求一个等比数列的前n项时常常需要分“公比为1”和“公比不为1”两种情况分类讨论。

1. 当“公比为1”时，前n项和公式的推导过程如下：
   

   

2. 当“公比不为1”时，前n项和公式的推导过程如下：
   

   

三、注意事项

因为等比数列求和公式中，公比等于1和公比不等于1的前n项和所适用的求和公式不同，所以求等比数列的前n项和时，往往需要对其公比是否等于1进行分类讨论。

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