等差數列 公式

等差数列求和公式

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等差数列求和公式属于等差数列中的一种，用于计算等差数列从首项至末项的和。

若一个等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，那么等差数列求和公式为Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。[1]

参考资料：

1.

等差数列的求和公式

中文期刊服务平台[引用日期2021-11-24]

词条标签：

科学学科

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等差数列求和公式

1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。

2、Sn=na(n+1)/2n为奇数

sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数

3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。

4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。将求和公式代入即可。当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。

等差数列求和解题技巧

一.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2

解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2

二.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

三.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

四.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

五.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。

六.用分组求和法求数列的前n项和

分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

七.用构造法求数列的前n项和

构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

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等差数列及它的和

数列

序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

等差数列

在等差数列里， 每一项和下一项的差是个常数。

换句话说，每次加个等值，至到永远，……

例子：

1，4，7，10，13，16，19，22，25……

每项和下一项的差是 3。

等差数列的一般写法是：

{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }

• a 是首项，
• d 是项与项之间的差（叫"公差"）

例子：（续）

1，4，7，10，13，16，19，22，25……

有：

• a = 1 （首项）
• d = 3 （项与项之间的 "公差"）

数列是：

{a，a+d，a+2d，a+3d……}

{1，1+3，+2×3，1+3×3……}

{1，4，7，10……}

规则

我们可以把等差数列写成一个公式：

xn = a + d(n-1)

（用 "n-1"，因为在第一项里没有 d）

例子：写下以下数列的规则，并求其第四项。

每项和下一项的差是 5。

a 和 d 的值是：

• a = 3 （首项）
• d = 5 (（"公差"）

计算出规则：

xn = a + d(n-1)

= 3 + 5(n-1)

= 3 + 5n - 5

= 5n - 2

所以第 4 项是：

x4 = 5×4 - 2 = 18

自己来检验！

把等差数列加起来

把等差数列的项加起来：

a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ...

用这个公式：

那个符号是什么？这是总和符号

意思是 "加起来"

符号的下面和上面是开始值和结束值：

意思是："以 n 从 1 到 4，把 n 加起来。答案=10

使用方法：

例子：把以下的等差数列的头 10 项加起来：

{ 1，4，7，10，13…… }

a、d 和 n 的值是：

• a = 1 （首项）
• d = 3 （"公差"）
• n = 10 （相加多少项）

所以：

变成：

= 5(2+9·3) = 5(29) = 145

检验：你自己把项加起来看看是不是等于 145！

为什么公式是这样的？

我们来看看为什么公式是这样的，我们会用一个有趣的技巧。

首先，设"S"为数列的和：

S = a + (a + d) + ... + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d)

接下来，把 S 再写一遍，不过这次反过来写：

S = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a

逐项相加：

每项都是一样的！总共有 "n" 项，所以……

2S = n × (2a + (n-1)d)

除以 2：

S = (n/2) × (2a + (n-1)d)

这就是我们要导出的公式：