上升時間 rise time 之定義是波形由

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簡介编辑
影響上昇時間的因素编辑
其他定義编辑
典型系統的上昇時間编辑
符號及標示编辑
計算上昇時間的簡單範例编辑
阻尼二階系統编辑
級聯模組的上昇時間编辑
相關條目编辑
腳註编辑
參考資料编辑

技檢◆工業電子-丙級

51. 有一電源電路之輸出端，利用直流電壓表測得 25V，利用交流電壓表串聯一電容器測得 2.5V，則其漣波百分比 (r％)為(A)1％(B)10％(C)9％(D)90％。 ...

10 x

前往解題

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技檢◆工業電子-丙級

51. 有一電源電路之輸出端，利用直流電壓表測得 25V，利用交流電壓表串聯一電容器測得 2.5V，則其漣波百分比 (r％)為(A)1％(B)10％(C)9％(D)90％。 ...

10 x

前往解題

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或电流）阶跃函数下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間[1]，值可以用相對參考輸入的比率[2]或是百分比[3]來表示。在模拟电路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或0.1及0.9）[4]。不過，也常會使用其他的值[5]若是在控制理論中，依照Levine (1996, p. 158)，上昇時間定義為「響應從終值的x%上昇到y%所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間[6]。依照Orwiler (1969, p. 22)，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間。[7]，

簡介编辑

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力[8]。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的調光器，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制類比開關，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素编辑

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關[9]。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，2.2 RC[10]。

其他定義编辑

有關上昇時間，也有其他和Levine (1996, p. 158)不同的定義，偶爾會出現：[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義[12]。另一種定義是由Elmore (1948, p. 57)引入[13]，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 V(t)，重新定義傳播延遲 tD為一次导数V′(t)的矩，也就是

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間tr

典型系統的上昇時間编辑

符號及標示编辑

所有分析用到的符號及假設條列如下：

根據Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定義x%為低準位的百分比，y%為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
t1是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間，而t2是輸出到達穩態值y%的時間，兩者單位都是秒。
tr是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

fL為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
fH為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
h(t)是待分析系統在時域下的冲激响应。
H(ω)是待分析系統在頻域下的频率响应。
带宽定義為

因為較低的截止頻率fL往往遠小於較高截止頻率fH，因此

所有分析的系統，其頻率響應都延伸到0（低通系統），因此

。

為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是V0伏特的阶跃函数，因此

ζ是特定二階微分方程的阻尼比，ω0則是自然頻率。

計算上昇時間的簡單範例编辑

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統编辑

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

其中σ > 0為常數[14]，和高截止頻率有以下的關係：

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好[16]。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

直接代入階躍響應的定義

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

利用误差函数的定義，可以找到t = - t1 = t2的數值，因為tr = t2 - t1 = 2t,

因此

[17]

一階低通RC電路编辑

針對一階低通RC電路[18]，10%至90%的上昇時間和網路時間常數τ = RC成正比：

比例常數可以用輸入信號為V0的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

求解時間

最後可得

而t1及t2滿足以下條件

求解方程可得t1和t2的解析式

上昇時間和時間常數成正比[19]：

另外，根據

則

因為上截止頻率等於頻寬

[17]

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，tr會變成：

一階低通LR電路编辑

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ = L⁄R成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式

阻尼二階系統编辑

根據Levine (1996, p. 158)，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下[20]：

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：

中ζ是阻尼比，ω0是電路的自然頻率。

級聯模組的上昇時間编辑

考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為tri, i = 1,...,n，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為trS.[21]。其輸出的上昇時間tr0為

依照Valley & Wallman (1948, pp. 77–78)，此結果可以用中心极限定理來說明，已由Wallman (1950)證明[22][23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),[24]，他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人[25]。

腳註编辑

^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始内容存档于2016-06-24）
^ 例如（Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306）, （Millman & Taub 1965，p.44） and （Nise 2011，p.167）.
^ 例如Levine (1996, p. 158), （Ogata 2010，p.170） and （Valley & Wallman 1948，p.72）.
^ 例如（Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306）, （Millman & Taub 1965，p.44） and （Valley & Wallman 1948，p.72）.
^ 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」
^ 6.0 6.1 精確來說，Levine (1996, p. 158)有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在（Levine 2011，p.9-3 (313)）的第二版也有類似的文字。
^ 仍是依照Orwiler (1969, p. 22)的定義
^ 依照Valley & Wallman (1948, p. 72)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是过冲。」，依照Cherry & Hooper (1969, p. 306)「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」
^ 參考（Orwiler 1969，pp.27–29）及級聯模組的上昇時間章節
^ 參考（Valley & Wallman 1948，p.73）、（Orwiler 1969，p. 22 and p. 30）中的範例，或是一階低通RC電路章節
^ 可參考（Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1）及（Elmore 1948，p.56）。
^ 參考（Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1）及（Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a）.
^ 參考（Petitt & McWhorter 1961，pp.109–111）
^ 參考（Valley & Wallman 1948，p.724）及（Petitt & McWhorter 1961，p.122）.
^ 根據Paley-Wiener準則，像是（Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724）中所提到的。Petitt & McWhorter (1961, p. 122)也簡單說明此事實
^ 參考（Valley & Wallman 1948，p.724）, （Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.）及（Orwiler 1969，p.30）.
^ 17.0 17.1 Compare with （Orwiler 1969，p.30）.
^ 也稱為「單極點濾波器」，例如（Cherry & Hooper 1969，p.639）
^ 比較（Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2)）、（Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3)）或（Orwiler 1969，p. 22 and p. 30）的內容
^ See （Ogata 2010，p.171）.
^ "S表示「來源」，可能是电流源或电压源
^ 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman列出了一個他稱為詞典的表，將电子工程及概率论的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心极限定理，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨著級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」（Wallman 1950，p.91）.
^ 也可以參考（Cherry & Hooper 1969，p.656）及（Orwiler 1969，pp.27–28）.
^ 由（Cherry & Hooper 1969，p.656）引用
^ 參考（Petitt & McWhorter 1961，p.109）.

參考資料编辑

Cherry, E. M.; Hooper, D. E., Amplifying Devices and Low-pass Amplifier Design, New York–London–悉尼市: 約翰威立: xxxii+1036, 1968.
Elmore, William C., The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers, 应用物理学杂志, January 1948, 19 (1): 55–63 [2019-12-31], doi:10.1063/1.1697872, （原始内容存档于2016-11-14）.
Levine, William S., The Control Handbook, 博卡拉頓: CRC Press: xvi+1548, 1996, ISBN 0-8493-8570-9.
Levine, William S., The Control Handbook: Control Systems Fundamentals 2nd, 博卡拉頓: CRC Press: xx+766, 2011 [1996], ISBN 978-1-4200-7362-1.
Millman, Jacob; Taub, Herbert, Pulse, digital and switching waveforms, 纽约–圣路易斯–旧金山–多伦多–伦敦–悉尼: McGraw-Hill: xiv+958, 1965.
National Communication Systems, Technology and Standards Division, >Federal Standard 1037C. Telecommunications: Glossary of Telecommunications Terms, FSC TELE, FED–STD–1037, Washington: General Service Administration Information Technology Service: 488, 1 March 1997.
Nise, Norman S., Control Systems Engineering 6th, New York: [John Wiley & Sons: xviii+928, 2011 [2019-12-31], ISBN 978-0470-91769-5, （原始内容存档于2017-12-09）.
Ogata, Katsuhiko, Modern Control Engineering 5th, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall: x+894, 2010 [1970], ISBN 978-0-13-615673-4.
Orwiler, Bob, Vertical Amplifier Circuits (PDF), Circuit Concepts, 062-1145-00 1st, Beaverton, OR: Tektronix: 461, December 1969 [2019-12-31], （原始内容 (PDF)存档于2021-06-08）.
Petitt, Joseph Mayo; McWhorter, Malcolm Myers, Electronic Amplifier Circuits. Theory and Design, McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, New York–Toronto–London: McGraw-Hill: xiii+325, 1961.
Valley, George E., Jr.; Wallman, Henry, §2 of chapter 2 and §1–7 of chapter 7, Vacuum Tube Amplifiers, MIT Radiation Laboratory Series 18, New York City: McGraw-Hill: xvii+743, 1948.
Wallman, Henry, Transient response and the central limit theorem of probability, Taub, A. H. (编), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, July 29–31 1948), Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 2, Providence: American Mathematical Society: 91, 1950, MR 0034250, Zbl 0035.08102.