一、观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。 二、累加法: 形如an+1=an+f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) 将上述n-1个式子两边分别相加,可得:an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1,(n≥2) ①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和. �������м��Ǹ�����ѧ����Ҫ���ݣ�Ҳ��ѧϰ�ߵ���ѧ�Ļ�������ˣ�ÿ��߿��Ա������ݾ�����ȫ��Ŀ��飬���Ҿ��������ۺ��⡢���������ʽ���֣��ѶȽϴ�������С����������ͨ�ʽ�����ܽ�����ϣ���ӭ�Ķ��ο��� ��������һ���С�⡢���ݶ����ʣ������ǵ�1С����������е�ͨ�ʽ���Ѷ����У�һ�㿼����ͻ�ƣ���ȡ����������������2С��Ļ�������ˣ�������ͨ�ʽ�Ľ��ⷽ�������ɣ�ÿһλ�����������������ա�������ͨ�ʽ�����ͺܶ࣬��ͬ�������в�ͬ�Ľ�������������Ͻ�ѧʵ����̸̸������ͨ�ʽ�Ľ���˼·�� ����һ����֪���е�ǰ���� ������֪���е�ǰ�����ͨ�ʽ��ͨ���۲��ҹ��ɣ����������е���������֮��Ĺ�ϵ���Ӷ����ͨ�ʽ�����ַ�����Ϊ�۲취��Ҳ���ǹ��������� ������1�������е�ͨ�ʽ ������1��0��22����1/3��32����1/4��42��1/5���� ������2��9��99��999������ ������������1��0=12����1/2��ÿһ��ķ�����������.ƽ����ȥ1����ĸ����������1��n2����1/n��1��n����1����ʵ�������и���ɻ���Ϊ0��1��2��3����������֪an��n����1�� ������2������ɲ��10-1��102-1��103-1��������an��10n����1�� ������������Ҫͨ����ѧ���۲졢���顢���������Ȼ�����ڴ˻����Ͻ�һ��ͨ���Ƚϡ�������������֤��ȥ��ʾ����ı��ʣ��Ӷ�����ѧ����˼ά������ ����������֪���е�ǰn���Sn ������֪���е�ǰn���Sn����ͨ�ʽan����Ҫͨ��an��Sn�Ĺ�ϵת������an -{ S1��n��1�� Sn -Sn����1��n��2�� ������2����֪����{an }��ǰn���Sn=2n+3����an ����������Sn=a1+a2 +����+an����1+an ����Sn����1��a1+a2 +����+an����1 ��������ʽ����� Sn -Sn����1=an �����⣺��n=1ʱ��a1=S1=5 ������n��2ʱ��an =Sn -Sn����1=2n+3-��2n����1+3��=2n����1 ������n=1���ʺ���ʽ ������an ={5��n=1�� 2n����1��n��2�� ����������֪an��Sn��ϵ ������֪���еĵ�n��an��ǰn���Sn��Ĺ�ϵ��Sn=f��an������an��һ���˼·���Ƚ�Sn��an�Ĺ�ϵת��Ϊan��an����1�Ĺ�ϵ���ٸ�����Ĺ�ϵ������Ϊ���¼������͡���ͬ�����ͣ�Ҫ�ò�ͬ�ķ�������� ������1��an=an����1+k���������Ȳ����У�ֱ�Ӵ���ʽ����ͨ�ʽ�� ������3����֪����{an}������a1=3��an=an����1+8����an�� ��������������֪������֪��������3Ϊ���8Ϊ����ĵȲ����У�ֱ�Ӵ���ʽ�����an=8n-5�� ������2��an=kan����1��kΪ���������������ȱ����У�ֱ�Ӵ���ʽ����ͨ�ʽ�� ������4������{an}��ǰn���Sn,a1=1��an+1=2Sn+1��n��N+�� ����������{an}��ͨ�ʽ�� ��������������an��Sn�Ĺ�ϵ����an+1=2Sn+1ת��Ϊan��an+1�Ĺ�ϵ�� �����⣺��an+1=2Sn+1 ������an=2Sn-1+1��n��2�� ������ʽ�������an+1-an=2an ������an+1=3an ��n��2�� ������a2=2Sn+1=3 ������a2=3a1 ������{an}����1Ϊ���3Ϊ���ȵĵȱ����� ������an=3n-1 ������3��an+1=an+f��n�����õ��ӷ� ����˼·����n=1��2��3��������n-1 ������a2=a1+f��1�� ����a3=a2+f��2�� ����a4=a3+f��3�� �������� ����+an=an����1+f��n-1�� ����an=a1+f��1��+f��2��+��+f��n-1�� ������5��������{an}����a1=2��an+1=an+2n ������{an}��ͨ�ʽ=�� �� �����⣺��an+1=an+2n ������a2 =a1+2��1 ����a3=a2+2��2 ����a4=a3+2��3 �������� ����+an=an����1+2��n-1�� ����an=a1+2��1+2+3+��+n-1�� ����=2+2����1+n-1����n-1�� ����=n2-n+2 ������4��an+1=f��n��an�����ۻ��� ����˼·����n=1��2��3��������n-1 ������a2 =f��1��a1 a3=f��2��a2 a4=f��3��a3 �������� ��������an=f��n-1��an-1 ����an=a1��f��1����f��2����f��3������f��n-1�� ������6��������{an}����a1=1��an+1=2n+an����an=�� �� �����⣺��an+1=2nan ��a2 =21a1 ����a3=22a2 a4=23a3 �������� �������� an=2n����1��an����1 ����an=2��22��23��������2n-1a1=2n��n-1��/2 ������5��an=pan����1+q�� an=pan����1+f��n�� ����an+1=an+p��qn��pq��0���� ����an=p��an����1��q�� an+1=ran/pan+q=��pr��0��q��r�� ������p��q��rΪ������ ������Щ���;����ù��취��������� ������an=pan����1+q ��p��qΪ������ �������취����ԭ���еĸ��������һ������������һ���ȱ����У�Ȼ������õȱ����е�ͨ�ʽ���ٻ�ԭΪ�������е�ͨ�ʽ�� ��������ϵʽ���߶�����x ������an+x=Pan����1+q+x ����=P��an����1 + q+x/p�� ������x=q+x/p����x=q/p-1 ������an+q/p-1=P��an����1+q/p-1�� ������{an+q/p-1}����a1+q/p-1Ϊ���PΪ���ȵĵȱ����С� ������an+q/p-1=��a1+q/p-1��Pn-1 ������an=��a1+q/p-1��Pn-1-q/p-1 ������������an=p��an����1+q��=p��pan-2+q��+q ����=p2����pan-3+q��+pq+q���� ������7������{an}��ǰn���ΪSn����Sn=2an-n��n��N+����an ������������Sn=2an-n ��Sn-1=2an-1-��n-1�� ��n��2,n��N+�� ������ʽ�����an=2an-1+1 ��������1��an+1=2��an-1+1�� ��n��2��n��N+�� �����������2Ϊ���ȵĵȱ�����{an+1} ������an=Pan-1+f��n�� ������8������{an}�У�a1Ϊ��������an=-2an-1+3n-1����2��n��N�� ����֤����an=��-2��n-1a1+3n+��-1��n��3��2n-1/5 �����������������֤���⣬��ķ�����Ȼ����ѧ���ɷ������ù��취�͵�������֤���� ��������һ�����칫��Ϊ-2�ĵȱ�����{an+�ˡ�3n} �����ñȽ�ϵ��������æ�=-1/5 ����������������Ȳ�������{an/��-2��n}������֪����ͬ�ԣ�-2��n����an/��-2��n=an-1/��-2��n=1/3����-3/2��n���õ��ӷ������� �������������������� ����an=-2an-1+3n-1=-2��-2an-2+3n-2��+3n-1 ����=��-2��2an-2+��-2����3n-2+3n-1 ����=��-2��2��-2an-3+3n-3��+��-2����3n-2+3n-1 ����=��-2��3an-3+��-2����3n-3+��-2����3n-2+3n-1 ����=��-2��n-1a1+��-2��n-1��3+��-2��n-3��+32+����+��-2����3n-2+3n-1 ����=��-2��n-1a1+3n+��-1��n-2��3��2n-1/5 ������an+1=��an+p��qn��pq��0�� ��������������=qn+1ʱ����ʽ����ͬ���ԣ��Ϳɹ����һ���Ȳ�����{an/qn}�� ������9��������{an}�У�a1=4��an+1+2n+1����an�� ������������an+1=2an+2n+1����ͬ����2n+1����an+1/2n+1=an/2n+1 ������{an/2n}����a1/2=2Ϊ���1Ϊ����ĵȲ����С� �������������ˡ�qʱ����ʽ����ͬ����qn+1����bn=an/qn����bn+1=��/qbn+p���ٹ���ɵȱ�������bn���Ӷ����an�� ������10����֪a1=1��an=3an-1+2n-1����an ������������an=3an-1+2n-1���߶�����2n�� ������an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2 ������an/2n=bn ������bn=3/2bn-1+1/2 ������an=p��an����1��q��p��qΪ������ ������11����֪an=1/a an����12������a1����an�� ��������һ������֪����ȡ���� ������lgan=2lgan����1-lga ������bn=lgan ������bn=2bn-1-lga���ٹ���ɵȱ�������bn���Ӷ����an�� ������������������ ����an=1/a a2n����1=1/a ��1/a a2n����2��2=1/a3 a4n����2 ����=1/a3 ��1/a a2n����3��4=1/a7��an����38=a����an����3/a��23 ����=����=a����a1/a��2n����1 ������an+1=ran/pan+q��p��q��rΪ������pr��0��q��r�� ��������ʽ����ȡ��������1/an+1=q/r��1/an+p/r���ٹ���ɵȱ�������an�� ������12����{an}�У�a1=1��an+1=an/an+2����an �����⣺��an+1=an/an+2 ������1/an+1=2��1/an+1 ����������1����1/an+1+1=2��1/an+1�� ������{1/an+1}����1/an+1=2Ϊ���2Ϊ���ȵĵȱ����� ������ 1/an+1=2��2n-1=2n ������an=1/2n-1 �����������г�������ͨ�ʽ�Ľ���˼·��Ȼ������������һ�㿼���Ե������е�5���������ù�ѡ���͵��������Ƚ����ѵġ��������������ת��Ϊ��һ�����ͽ��������an��Sn�Ĺ�ϵʽ������е�ǰ����ù۲취��an�� |