絕對 溫度 為 T 的 某 理想 氣體 密封 於 一個 邊 長 分別 為 l 2l 3l 之 長 方 盒 內 如 圖 依 氣體 運動 論 下列 數學 式 中 何者

氣體動力論 (Kinetic theory of gases)
國立臺灣大學物理學系98級 蔡亦涵

我們也許都有一個經驗，媽媽把自來水裝進熱水壺裡面，放在瓦斯爐上加熱燒開水，就在水沸騰的時候，汽笛的孔會冒出大量白煙，並且發出鳴笛聲提醒。這時候我們發現一個問題，水氣以及小水滴從汽笛的孔一直噴出，這是為什麼呢？

若按照「壓力」的觀點，水壺裡面似乎有個比較大的壓力一直往外面推，將裡面的水分子推至空氣之中，這個推論看起來還不錯，但又衍生一個問題，壓力哪來的？容器裡必定有物質在施力，可是沒有其他東西了，難道說是那些水分子？看來也只能這樣假設了。

「氣體動力論」就是在描述氣體分子的動力行為，假設微觀分子的運動模式可以表現在宏觀的物理狀態。為了簡化模型，我們先對這些分子做一些假設：

1. 分子除了彈性碰撞以外，沒有其他交互作用。
2. 每個分子質量相等。
3. 分子體積極小，遠比兩分子間的距離還要小。
4. 數量極大，且皆快速的隨機運動。

有了這些假設，我們對「彈性碰撞」著手進行，考慮一個方盒子，空間三個方向的邊長都是 \(L\)，因為數量極為龐大，所以三個方向發生的事情會一樣。我們先考慮 \(x\) 方向，假設 \(x\) 方向的速度平均為 \(v_x\)，撞到容器會彈性碰撞，所以某一個分子動量的變化 \(\Delta P_x\)：

\(\Delta P_x=mv_x-(-mv_x)=2mv_x\)

而且因為邊長是 \(L\)，所以下次撞擊同一面容器的時候平均來說需要時間 \(\Delta t\)：

\(\Delta t=\displaystyle\frac{2L}{v_x}\)

太棒了，我們有「動量變化」跟「經過的時間」，緊接著就可以算出 \(x\) 方向平均受力 \(F_x\)：

\(F_x=\displaystyle\frac{\Delta P_x}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L}\)

同理：

\(F_y=\displaystyle\frac{\Delta P_y}{\Delta t}=\frac{mv_y^2}{L}\)

\(F_z=\displaystyle\frac{\Delta P_z}{\Delta t}=\frac{mv_z^2}{L}\)

接著我們知道分子真正的速率 \(v\) 會滿足：

\(v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\)

而且再強調一次，因為「數量龐大」，所以基本上三個方向的分量會平均分配，因此：

\(F_x=F_y=F_z=\displaystyle\frac{mv^2}{3L}\)

所以每個面受到的壓力 \(P\)：

\(P=\displaystyle\frac{F}{A}=\frac{mv^2}{3L^3}=\frac{mv^2}{3V}\)

其中 \(V\) 就是方盒子體積。

經過這些辛苦的推導，我們成功把分子的速率跟盒子內的壓力連結在一起了，真的是可喜可賀，只要測量出宏觀的物理量(壓力)，竟然可以知道分子速率！但故事還沒說完，根據前人的智慧，有一個相當普遍而有用的方程式─理想氣體方程式：

\(PV=NkT\) 

這是綜合了波以耳、查理、給呂薩克這些物理學家做實驗所歸納出來的結果，最後再經過推理彙整而成的。因此我們把之前推導壓力的式子整理一下，現在氣體有 \(N\)個氣體分子：

\(\displaystyle P=\frac{Nmv^2}{3V}=\frac{NkT}{V}\)

進一步改寫成：

\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\)

等式左邊就是動能，因此我們推得每一個分子平均動能 \(K\)：

\(K=\displaystyle\frac{3}{2}kT\)

這個結果把分子平均動能跟容器溫度連結一起了，可以清楚知道動能與溫度的關係，即溫度是來自於分子的動能。再整理一下方程式，可以得到速率 \(v\)：

\(v=\displaystyle\sqrt{\frac{3kT}{m}}\)

到這邊我們先回顧一下剛剛推導過程，剛剛我們都只考慮一個方向，反正因為平均，三個方向都會一樣，且 \(x\) 方向的動能是總動能的 \(3\) 分之 \(1\)，最後推導出這個 \(v\)。這個 \(v\) 是由三個方向的平方合，然後平均分配給三個方向，最後開根號得到的，所以這個速率又稱為「方均根速率」。

方均根速率恰巧也可以利用「分子速率的馬克士威分布」證明，結果一樣。利用氣體動力論，我們還可以進一步計算出氣體擴散的速率以及熱傳導快慢等等巨觀性質。

參考文獻

1. 維基百科. Kinetic Theory. http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory
2. 維基百科. Ideal Gas Law. http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law