一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。 [1]
一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期 [1] 。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题 [2] 。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程 [1] 。
中文名 一元一次方程 外文名 linear equation with one unknown 标准形式 ax+b=0或ax=b（a≠0） 类 型 整式方程、线性方程创立者 韦达学 科 数学
目录
- 1 历史溯源
- 2 概念定义
- 3 求根方法
- ▪ 一般方法
- ▪ 求根公式法
- ▪ 图像法
- 4 研究应用
- ▪ 基本应用
- ▪ 问题举例
- 5 价值意义
一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。 [1]
约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题目为：“一个量，加上它的
等于19，求这个量。”解决了形为
的一次方程，即单假设法解决问题。
公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。
9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。
12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。
韦达
13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。
16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。
16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。
1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。 [1]
只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两面都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。 [1] 其一般形式是：
有时也写作：
可以通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程（如
）也属于一元一次方程。一元一次方程是一种线性方程，且只有一个根。
一元一次方程一般方法
以解方程
为例：
去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：（常简写为“合并，得：”）
系数化为1，得：
在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最小公倍数，如果分母为分数，则可化为该一项的其他部分乘以分母上分数的倒数的形式。 [2]
以方程
为例：
消除分母上的分数，可化简为：
进而得出方程的解。
一元一次方程求根公式法
基本公式
对于关于
的一元一次方程
，其求根公式为：
推导过程
解：移项，得：
系数化为1，得：
一元一次方程图像法
图1 一次函数
对于关于
的一元一次方程
可以通过做出一次函数
来解决。一元一次方程
的根就是它所对应的一次函数
函数值为0时，自变量
的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 [3]
以方程
为例：
如图1，作出函数
的图象。
由图像知函数图象与x轴交于点
可得原方程的根是
一元一次方程基本应用
一元一次方程通常可用于做数学应用题， [1] 也可应用于物理、化学的计算。
如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过
公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。
一元一次方程问题举例
丢番图问题
希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹：上帝给予的垂髫时光占六分之一，又过了十二分之一，髯须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。
根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。
解法：设丢番图的寿命x岁；
则
解得x=84,
丢番图开始当爸爸时的年龄：
儿子死时丢番图的年龄：84-4=80 [1]
“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 译成现代汉语为：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔？ [4-5]
该问题可用一元一次方程解决，解法如下：
解法：设鸡有x只，兔有
只
由题意得：
解得：x=23
兔的数量 35-x=12
答：鸡有23只，兔有12只。
利用一元一次方程可以将一个有限循环小数化为分数，以
为例：
设
，则
可算出
同时，该方法也可用来证明
的问题。 [1]
一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。如果仅使用算术，部分问题解决起来可能异常复杂，难以理解。而一元一次方程模型的建立,将能从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的数学问题。例如在丢番图问题中，仅使用整式可能无从下手，而通过一元一次方程寻找作为等量关系的“年龄”，则会使问题简化。一元一次方程也可在数学定理的证明中发挥作用，如在初等数学范围内证明“0.9的循环等于1”之类的问题。通过验证一元一次方程解的合理性，达到解释和解决生活问题的目的，从一定程度上解决了一部分生产、生活中的问题。 [5]
参考资料- 1 教材编委会．《数学》七年级上册：：人民教育出版社，2012年：77-112
- 2 齐丹丹 , 洪燕君 , 汪晓勤．《中学数学月刊》 ：中学数学月刊杂志社，2016 ：42-45
- 3 教材编委会．《数学》八年级下册：人民教育出版社，2012：96
- 4 《孙子算经》卷下第31题：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”
- 5 纪琰玲．《山东教育》：山东教育社，2015：30