C10 取 8

• 關於音樂表演的編制單位，請見「樂團」。
• 關於一種可解釋為「組合」的組織型態，請見「辛迪加」。

在組合數學，一個集的元素的組合是一個子集。S的一個k-組合是S的一個有k個元素的子集。若兩個子集的元素完全相同並順序相異，它仍視為同一個組合，這是組合和排列不同之處。

从 n 个不同元素中取出 k 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，记做： 、 、 、 （英语）、 （法语、罗马尼亚语、俄语、汉语[1]、波兰语）。

从 个元素中取出 个元素， 个元素的组合數量为：

以六合彩為例。在六合彩中从49顆球中取出6顆球的组合數量为：

从 个元素中取出 个元素， 個元素可以重複出現，這组合數量为：

以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球中取出5顆球，好比是在5顆球間畫上分隔號“|”代表球色的分布情形。例如第1種色球取1顆，第2種色球取2顆，第3種色球取2顆可以表示成：

可以理解为8类球每类取多少个，一起构成5个球。我们把5个球排成一排，用7个分隔线去隔开。如上图，表示含义：第1根线前表示第一类球取的个数，第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数，第7根后表示第八类球的个数。亦即問題是從(5+8-1)個位置中挑選出(8-1)個位置擺分隔號，這組合數量為：

因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為：

另外 也可以記為 [2]或 

在 的定義中，由於它有意義的範圍必須是滿足條件 ，所以其他範圍必須另外定義，我們有:

組合 C编辑

迴圈法编辑

/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** Comb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_comb(int* comb, const int n, const int k) { int i = k - 1; const int e = n - k; do comb[i]++; while (comb[i] > e + i && i--); if (comb[0] > e) return 0; while (++i < k) comb[i] = comb[i - 1] + 1; return 1; } int main() { int n, k; cout << "comb(n,k):" << endl; cin >> n >> k; if (n < k || k <= 0) return 0; int* comb = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) comb[i] = i; do for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n')) cout << comb[i] + 1; while (next_comb(comb, n, k)); delete[] comb; return 0; }

遞迴法编辑

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) { if (site > 0 && arr[site - 1] >= arr[site]) return 0; return 1; } inline void arrprint() { for (int i = 0; i < k; i++) printf("%3d", arr[i]); puts(""); count++; } void calculate(int now) { if (now == k) { arrprint(); return; } for (int i = 0; i < n; i++) { arr[now] = i; if (arrsame(now)) { calculate(now + 1); } } } inline void run(int nn, int kk) { n = nn, k = kk; count = 0; if (k < 12 && n >= k && k > 0) calculate(0); if (count) printf("\n%d combination.\n\n", count); else puts("Input error!"); } } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { comb::run(n, k); fflush(stdout); } return 0; }

重複組合 H编辑

迴圈法编辑

/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** ReComb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_re_comb(int* recomb, const int n, const int k) { int i = k - 1; do recomb[i]++; while (recomb[i] > n - 1 && i--); if (recomb[0] > n - 1) return 0; while (++i < k) recomb[i] = recomb[i - 1]; return 1; } int main() { int n, k; cout << "recomb(n,k):" << endl; cin >> n >> k; if (n <= 0 || k <= 0) return 0; int* recomb = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) recomb[i] = 0; do for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n')) cout << recomb[i] + 1; while (next_re_comb(recomb, n, k)); delete[] recomb; return 0; }

遞迴法编辑

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace re_comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) { if (site > 0 && arr[site - 1] > arr[site]) return 0; return 1; } inline void arrprint() { for (int i = 0; i < k; i++) printf("%3d", arr[i]); puts(""); count++; } void calculate(int now) { if (now == k) { arrprint(); return; } for (int i = 0; i < n; i++) { arr[now] = i; if (arrsame(now)) { calculate(now + 1); } } } inline void run(int nn, int kk) { n = nn, k = kk; count = 0; if (k < 12 && k > 0) calculate(0); if (count) printf("\n%d combination.\n\n", count); else puts("Input error!"); } } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { re_comb::run(n, k); fflush(stdout); } return 0; }

组合数可以推广到多分类的情形 ，我们将n个物品分为m份，每份的个数分别为: 个，那么，总的分类数为

• 概率论
• 组合数学

1. ^ 人教版高中数学选修2-3. 人民教育出版社. : 21 [2021-08-25]. （原始内容存档于2021-08-25）.
2. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392
3. ^ 3.0 3.1 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392

• 组合数公式的直观理解及其推广 （页面存档备份，存于互联网档案馆）