一、观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
二、累加法:
形如an+1=an+f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)
将上述n-1个式子两边分别相加,可得:an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1,(n≥2)
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
② 若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.
�������м��Ǹ�����ѧ����Ҫ���ݣ�Ҳ��ѧϰ�ߵ���ѧ�Ļ�������ˣ�ÿ��߿��Ա������ݾ�����ȫ��Ŀ��飬���Ҿ��������ۺ��⡢���������ʽ���֣��ѶȽϴ�������С����������ͨ�ʽ�����ܽ�����ϣ���ӭ�Ķ��ο���
��������һ���С�⡢���ݶ����ʣ������ǵ�1С����������е�ͨ�ʽ���Ѷ����У�һ�㿼����ͻ�ƣ���ȡ����������������2С��Ļ�������ˣ�������ͨ�ʽ�Ľ��ⷽ�������ɣ�ÿһλ�����������������ա�������ͨ�ʽ�����ͺܶ࣬��ͬ�������в�ͬ�Ľ�������������Ͻ�ѧʵ����̸̸������ͨ�ʽ�Ľ���˼·��
����һ����֪���е�ǰ����
������֪���е�ǰ�����ͨ�ʽ��ͨ���۲��ҹ��ɣ����������е���������֮��Ĺ�ϵ���Ӷ����ͨ�ʽ�����ַ�����Ϊ�۲취��Ҳ���ǹ���������
������1�������е�ͨ�ʽ
������1��0��22����1/3��32����1/4��42��1/5����
������2��9��99��999������
������������1��0=12����1/2��ÿһ��ķ�����������.ƽ����ȥ1����ĸ����������1��n2����1/n��1��n����1����ʵ�������и���ɻ���Ϊ0��1��2��3����������֪an��n����1��
������2������ɲ��10-1��102-1��103-1��������an��10n����1��
������������Ҫͨ����ѧ���۲졢���顢���������Ȼ�����ڴ˻����Ͻ�һ��ͨ���Ƚϡ�������������֤��ȥ��ʾ����ı��ʣ��Ӷ�����ѧ����˼ά������
����������֪���е�ǰn���Sn
������֪���е�ǰn���Sn����ͨ�ʽan����Ҫͨ��an��Sn�Ĺ�ϵת������an -{ S1��n��1�� Sn -Sn����1��n��2��
������2����֪����{an }��ǰn���Sn=2n+3����an
����������Sn=a1+a2 +����+an����1+an
����Sn����1��a1+a2 +����+an����1
��������ʽ����� Sn -Sn����1=an
�����⣺��n=1ʱ��a1=S1=5
������n��2ʱ��an =Sn -Sn����1=2n+3-��2n����1+3��=2n����1
������n=1���ʺ���ʽ
������an ={5��n=1�� 2n����1��n��2��
����������֪an��Sn��ϵ
������֪���еĵ�n��an��ǰn���Sn��Ĺ�ϵ��Sn=f��an������an��һ���˼·���Ƚ�Sn��an�Ĺ�ϵת��Ϊan��an����1�Ĺ�ϵ���ٸ�����Ĺ�ϵ������Ϊ���¼������͡���ͬ�����ͣ�Ҫ�ò�ͬ�ķ��������
������1��an=an����1+k���������Ȳ����У�ֱ�Ӵ���ʽ����ͨ�ʽ��
������3����֪����{an}������a1=3��an=an����1+8����an��
��������������֪������֪��������3Ϊ���8Ϊ����ĵȲ����У�ֱ�Ӵ���ʽ�����an=8n-5��
������2��an=kan����1��kΪ���������������ȱ����У�ֱ�Ӵ���ʽ����ͨ�ʽ��
������4������{an}��ǰn���Sn,a1=1��an+1=2Sn+1��n��N+��
����������{an}��ͨ�ʽ��
��������������an��Sn�Ĺ�ϵ����an+1=2Sn+1ת��Ϊan��an+1�Ĺ�ϵ��
�����⣺��an+1=2Sn+1
������an=2Sn-1+1��n��2��
������ʽ�������an+1-an=2an
������an+1=3an ��n��2��
������a2=2Sn+1=3
������a2=3a1
������{an}����1Ϊ���3Ϊ���ȵĵȱ�����
������an=3n-1
������3��an+1=an+f��n�����õ��ӷ�
����˼·����n=1��2��3��������n-1
������a2=a1+f��1��
����a3=a2+f��2��
����a4=a3+f��3��
��������
����+an=an����1+f��n-1��
����an=a1+f��1��+f��2��+��+f��n-1��
������5��������{an}����a1=2��an+1=an+2n
������{an}��ͨ�ʽ=�� ��
�����⣺��an+1=an+2n
������a2 =a1+2��1
����a3=a2+2��2
����a4=a3+2��3
��������
����+an=an����1+2��n-1��
����an=a1+2��1+2+3+��+n-1��
����=2+2����1+n-1����n-1��
����=n2-n+2
������4��an+1=f��n��an�����ۻ���
����˼·����n=1��2��3��������n-1
������a2 =f��1��a1 a3=f��2��a2 a4=f��3��a3
��������
��������an=f��n-1��an-1
����an=a1��f��1����f��2����f��3������f��n-1��
������6��������{an}����a1=1��an+1=2n+an����an=�� ��
�����⣺��an+1=2nan ��a2 =21a1
����a3=22a2 a4=23a3
��������
�������� an=2n����1��an����1
����an=2��22��23��������2n-1a1=2n��n-1��/2
������5��an=pan����1+q�� an=pan����1+f��n��
����an+1=an+p��qn��pq��0����
����an=p��an����1��q�� an+1=ran/pan+q=��pr��0��q��r��
������p��q��r������
������Щ���;����ù��취���������
������an=pan����1+q ��p��q������
�������취����ԭ���еĸ��������һ������������һ���ȱ����У�Ȼ������õȱ����е�ͨ�ʽ���ٻ�ԭΪ�������е�ͨ�ʽ��
��������ϵʽ���߶�����x
������an+x=Pan����1+q+x
����=P��an����1 + q+x/p��
������x=q+x/p����x=q/p-1
������an+q/p-1=P��an����1+q/p-1��
������{an+q/p-1}����a1+q/p-1Ϊ���PΪ���ȵĵȱ����С�
������an+q/p-1=��a1+q/p-1��Pn-1
������an=��a1+q/p-1��Pn-1-q/p-1
������������an=p��an����1+q��=p��pan-2+q��+q
����=p2����pan-3+q��+pq+q����
������7������{an}��ǰn���ΪSn����Sn=2an-n��n��N+����an
������������Sn=2an-n ��Sn-1=2an-1-��n-1�� ��n��2,n��N+��
������ʽ�����an=2an-1+1
��������1��an+1=2��an-1+1�� ��n��2��n��N+��
�����������2Ϊ���ȵĵȱ�����{an+1}
������an=Pan-1+f��n��
������8������{an}�У�a1Ϊ��������an=-2an-1+3n-1����2��n��N��
����֤����an=��-2��n-1a1+3n+��-1��n��3��2n-1/5
�����������������֤���⣬��ķ�����Ȼ����ѧ���ɷ������ù��취�͵�������֤����
��������һ�����칫��Ϊ-2�ĵȱ�����{an+�ˡ�3n}
�����ñȽ�ϵ��������æ�=-1/5
����������������Ȳ�������{an/��-2��n}������֪����ͬ�ԣ�-2��n����an/��-2��n=an-1/��-2��n=1/3����-3/2��n���õ��ӷ�������
��������������������
����an=-2an-1+3n-1=-2��-2an-2+3n-2��+3n-1
����=��-2��2an-2+��-2����3n-2+3n-1
����=��-2��2��-2an-3+3n-3��+��-2����3n-2+3n-1
����=��-2��3an-3+��-2����3n-3+��-2����3n-2+3n-1
����=��-2��n-1a1+��-2��n-1��3+��-2��n-3��+32+����+��-2����3n-2+3n-1
����=��-2��n-1a1+3n+��-1��n-2��3��2n-1/5
������an+1=��an+p��qn��pq��0��
��������������=qn+1ʱ����ʽ����ͬ���ԣ��Ϳɹ����һ���Ȳ�����{an/qn}��
������9��������{an}��a1=4��an+1+2n+1����an��
������������an+1=2an+2n+1����ͬ����2n+1����an+1/2n+1=an/2n+1
������{an/2n}����a1/2=2Ϊ���1Ϊ����ĵȲ����С�
�������������ˡ�qʱ����ʽ����ͬ����qn+1����bn=an/qn����bn+1=��/qbn+p���ٹ���ɵȱ�������bn���Ӷ����an��
������10����֪a1=1��an=3an-1+2n-1����an
������������an=3an-1+2n-1���߶�����2n��
������an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
������an/2n=bn
������bn=3/2bn-1+1/2
������an=p��an����1��q��p��q������
������11����֪an=1/a an����12������a1����an��
��������һ������֪����ȡ����
������lgan=2lgan����1-lga
������bn=lgan
������bn=2bn-1-lga���ٹ���ɵȱ�������bn���Ӷ����an��
������������������
����an=1/a a2n����1=1/a ��1/a a2n����2��2=1/a3 a4n����2
����=1/a3 ��1/a a2n����3��4=1/a7��an����38=a����an����3/a��23
����=����=a����a1/a��2n����1
������an+1=ran/pan+q��p��q��r������pr��0��q��r��
��������ʽ����ȡ��������1/an+1=q/r��1/an+p/r���ٹ���ɵȱ�������an��
������12����{an}��a1=1��an+1=an/an+2����an
�����⣺��an+1=an/an+2
������1/an+1=2��1/an+1
����������1����1/an+1+1=2��1/an+1��
������{1/an+1}����1/an+1=2Ϊ���2Ϊ���ȵĵȱ�����
������ 1/an+1=2��2n-1=2n
������an=1/2n-1
�����������г�������ͨ�ʽ�Ľ���˼·��Ȼ������������һ�㿼���Ե������е�5���������ù�ѡ���͵��������Ƚ����ѵġ��������������ת��Ϊ��һ�����ͽ��������an��Sn�Ĺ�ϵʽ������е�ǰ����ù۲취��an��